Transformasi Geometri

Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.

Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :

·         Pergeseran (Translasi)

Translasi adalah suatu pergerakan/perpindahan semua titik dari objek pada suatu jalur lurus sehingga menempati posisi baru. Jalur yang direpresentasikan oleh vektor disebut Translasi atau Vektor Geser. Pergeseran tersebut dapat ditulis :

Untuk merepresentasikan translasi dalam matriks 3×3 kita dapat menulisnya :

·         Pencerminan (Refleksi)

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.

·         Perputaran (Rotasi)

Rotasi adalah mereposisi semua titik dari objek sepanjang jalur lingkaran dengan pusatnya pada titik pivot.

Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan matriks:

Dimana :
- sin(θ) dan cos(θ) adalah fungsi linier dari θ,
- x’ kombinasi linier dari x dan y
– y’ kombinasi linier dari x and y

·         Perkalian (Dilatasi)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.

 
Sifat - sifat :

1. Pencerminan

·         jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin.

·         garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin

·         setiap garis dan pencerminannya salalu sama panjang

·         setiap bangun dan pencerminannya kongruen

2.      translasi / Pergeseran

·  Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan ë b û dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
            ë d û                       ë b + d û 

·   Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

3.      Perputaran (Rotasi)

·         Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat rotasi.

Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ

dinotasikan dengan R (P, θ ).

·         Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ belawanan arah jam Terhadap titik pusat O(0,0), maka diperoleh bayangan P ' (x ' , y ' ).

R(O, θ ): P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (x cosθ - y sinθ , x sinθ + y cos θ )

·         Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh θ berlawanan dengan arah jam terhadap titik pusat A(a,b) maka bayangannya adalah P ' (x ' , y ' ) dengan

x ' - a = (x –a) cosθ - (y-b) sinθ

y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ

·     Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.

·  Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

4.       Transformasi

·         mentransformasikan bangun A menjadi bangun A '

·         Gabungan dari beberapa transformasi disebut dengan komposisi transformasi.
Transformasi T1 dilanjutkan dengan transformasi T 2 terhadap suatu titik P (x,y)
1. Komposisi dua translasi sifat-sifat komposisi translasi
a. Untuk dua translasi berurutan berlakuT1 o T 2 = T 2 o T1 (komutatif)
b. Untuk tiga translasi berurutan berlaku
(T1 o T 2 ) oT3 = T1 o ( T 2 o T 3 ) (asosiatif)